Titre: 26 carrés (5 jours)
Objectifs d’apprentissage: Pythagore, racines, puissances, rapports et proportions, aire des figures planes, droites parallèles, représentation graphique des rapports.
Démarche: Voici une activité pour démontrer le théorème de Pythagore. Les élèves commencent avec 26 carrés de grandeurs différentes, de 1 à 26 unités par coté.
- Découper et les arranger en ordre de grandeur
- Demander aux élèves de construire quelque chose avec leurs formes
- Demander s’ils peuvent construire quelque chose avec seulement 3 carrés. Éventuellement, quelqu’un va construire un triangle en utilisant 3 cotés de carrés.
- Exploration des triangles: Triangles isocèle, scalène, équilatérale (seulement scalène est possible, pourquoi?). Triangles acutangle, obtusangle, rectangle.
Questions à demander:
- Est-ce que tu peux déterminer le type de triangle avec seulement les longueurs des cotés?
Exploration: La chasse aux triangles rectangles:
- Les élèves postulent et viennent valider des triangles possibles.
- Rassemblez les données au tableau
Retour: Comparez les résultats et chercher ensemble la formule pour déterminer l'hypoténuse
Concepts clés:
Hypothénuse, cathète, a2+b2=c2, racines, puissances
Allez plus loin:
- Des familles de triangles rectangles (relation proportionnelle)
- Peux-tu prédire des triangles rectangles plus grands?
- Comment isoler a, b et c dans l’équation
- Représentez en forme graphique les longueurs des cotés a (axe des x) et les longueurs des cotés b (axe des y). Que remarques-tu? (droites parallèles)
Déroulement - pour le déroulement voir Robotninjamath
Les notes de cours des élèves pour les activités 1 et 2 sont ici:
26 Squares - 26 Carrées
Cette semaine nous débutons l'activité de 26 carrées proposé par Al Overwijk disponible ici.
Les élèves ont commencé leur travail en découpant des carrées de 1 à 26 unités de longueur. Ils ont ensuite déterminé le PAL: Périmètre, Aire et Longueur de chaque carrée. Ceci leur a permis de réviser les concepts suivants:
Aire,
Périmètre,
Les carrées,
Les racines carrées
Nous avons ensuite demandé aux élèves de construire quelque chose avec leurs carrées. Voici des exemples:
On s'est ensuite mis a construire des formes en utilisant le bord des carrées comme périmètre. Nous avons discuté des possibilités et des indices que nos carrées nous donnaient.
P.ex: construire des trapèzes avec nos carrées - Comment trouver le périmètre et l'aire?
Nous avons donc fait un retour informel sur les formules pour l'aire et le périmètre des figures planes.
Par la suite nous avons exploré spécifiquement les triangles.
Parmi les triangles, beaucoup SEMBLAIENT être des triangles rectangles, mais nous avons découvert que 90 degrés EXACTEMENT est très difficile à trouver.
Nous avons 4 familles de triangles rectangles:
Famille 1:
3,4,5 et ses multiples
Famille 2:
8,15,17 et ses multiples
Famille 3:
5,12,13 et ses multiples
Famille 4:
7,24,25 et ses multiples
Nous avons ensuite exploré les ratios pour chaque famille de triangles en utilisant le graphique suivant:
Les élèves ont observé que les triangles des mêmes familles (par exemple famille 1 en rouge) étaient simplement des versions plus grandes ou plus petites et formaient des lignes parallèles dans notre graphique.
FINALEMENT! Les élèves ont été encouragés à prendre les informations que nous avions trouvées pour construire un tableau de valeur:
En observant leurs tableaux c'est facile a voir que...
Nous allons continuer notre exploration demain!
Concepts Mathématiques:
Droites parallèles
Droites sécantes
Aire et périmètres des figures planes
Tableaux de valeurs
Graphiques
Ratios
Types de triangles
Angles droits, obtus et aigus
Théorème de Pythagore
Domaines touchés:
- Numération et sens du nombre
- Géométrie et sens de l'espace
- Mesure
- Modélisation et algèbre
Les élèves ont commencé leur travail en découpant des carrées de 1 à 26 unités de longueur. Ils ont ensuite déterminé le PAL: Périmètre, Aire et Longueur de chaque carrée. Ceci leur a permis de réviser les concepts suivants:
Aire,
Périmètre,
Les carrées,
Les racines carrées
Nous avons ensuite demandé aux élèves de construire quelque chose avec leurs carrées. Voici des exemples:
 |
| Des maisons |
 |
| Des étoiles :) |
 |
| Deux triangles isocèles |
 |
| Des dodécagones |
 |
| Des triangles |
 |
| TRANSFORMERS |
On s'est ensuite mis a construire des formes en utilisant le bord des carrées comme périmètre. Nous avons discuté des possibilités et des indices que nos carrées nous donnaient.
P.ex: construire des trapèzes avec nos carrées - Comment trouver le périmètre et l'aire?
Nous avons donc fait un retour informel sur les formules pour l'aire et le périmètre des figures planes.
Par la suite nous avons exploré spécifiquement les triangles.
- Par la longueur des côtés
- Triangle isocèle
- Triangle équilatéral
- Triangle scalène
- Par les angles
- Triangle obtusangle
- Triangle rectangle
- Triangle acutangle
Parmi les triangles, beaucoup SEMBLAIENT être des triangles rectangles, mais nous avons découvert que 90 degrés EXACTEMENT est très difficile à trouver.
Nous avons 4 familles de triangles rectangles:
Famille 1:
3,4,5 et ses multiples
Famille 2:
8,15,17 et ses multiples
Famille 3:
5,12,13 et ses multiples
Famille 4:
7,24,25 et ses multiples
Nous avons ensuite exploré les ratios pour chaque famille de triangles en utilisant le graphique suivant:
Les élèves ont observé que les triangles des mêmes familles (par exemple famille 1 en rouge) étaient simplement des versions plus grandes ou plus petites et formaient des lignes parallèles dans notre graphique.
FINALEMENT! Les élèves ont été encouragés à prendre les informations que nous avions trouvées pour construire un tableau de valeur:
En observant leurs tableaux c'est facile a voir que...
Nous allons continuer notre exploration demain!
Concepts Mathématiques:
Droites parallèles
Droites sécantes
Aire et périmètres des figures planes
Tableaux de valeurs
Graphiques
Ratios
Types de triangles
Angles droits, obtus et aigus
Théorème de Pythagore
Domaines touchés:
- Numération et sens du nombre
- Géométrie et sens de l'espace
- Mesure
- Modélisation et algèbre
Les notes de cours des élèves pour les activités 1 et 2 sont ici:
Activité 2: Les 26 carrés
Pendant l’activité nous avons travaillé les concepts suivants:
Les puissances: a2 b2 et c2 sont des puissances utilisés dans le théorème de pythagore
Les tableaux de valeur: on a utilisé ces tableaux comme démontré ci-haut pour organiser nos informations par rapport aux triangles rectangles.
Le théorème de Pythagore:
Dans les triangles rectangle, on peut identifier les côtés comme suit:
Notation dans le théorème de Pythagore
|
Terminologie mathématique
|
Emplacement relatif à l’angle droit
|
a
|
cathète
|
adjacent à l’angle droite
|
b
|
cathète
|
adjacent à l’angle droite
|
c
|
hypoténuse
|
opposé à l’angle droite
|
Le théorème pythagore met en relation la longueur des côtés d’un triangle rectangle en indiquant que le carré de la longueur de l’hypoténuse, qui est le côté opposé à l'angle droit, est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés.
a2 + b2 = c2
L’isolation de variable: Lorsqu’on chercher les longueurs des côtés d’un triangle rectangle. C’est possible que nous devons isoler des variable. Si on sait que:
a2 + b2 = c2
ça veut dire que…
c2 - b2 = a2
et que…
c2 - a2 = b2
Les racines carrées:
En sachant que
a2 + b2 = c2
Nous pouvons facilement trouver la valeur de c2
Mais si nous voulons trouver la valeur de l'hypoténuse, nous n’avons pas terminé notre travail. Nous ne voulons pas c2 mais bien c.
Afin de trouver c nous devons trouver la racine carrée de la valeur de c2
Voici un exemple en utilisant un triangle rectangle que nous avons étudié.
Ici nous avons un triangle qui a des cathètes qui mesurent 3 et 4 unités. 
a = 3
b = 4
(nous allons chercher c)
a2 + b2 = c2
32 + 42 = c2
9 + 16 = c2
25 = c2
Nous pouvons bien voir dans ce schéma que nos calculs ne sont pas terminés. C’est évident que nous devons trouver la longueur de l’hypoténuse et non l’aire du carré attaché sur ce bord du triangle. Nous devons donc calculer la racine carrée de c2 afin de trouver c.
25 = c
5 = c
Les variables:
Les variables sont utilisés afin d’identifier des éléments qui affectent nos calculs mais qui ne sont pas des nombres fixes. Dans vos devoirs d’hier soir vous avez eu la chance d’utiliser des variable afin de décrire la relation entre la valeur de l’homothétie et le périmètre du triangle.
EX: Voici des homothéties du triangle 3,4,5 et leur périmètres:
Valeur de l’homothétie
|
côté a
|
côté b
|
côté c
|
périmètre
|
1
|
3
|
4
|
5
|
12
|
2
|
6
|
8
|
10
|
24
|
3
|
9
|
12
|
15
|
36
|
4
|
12
|
16
|
20
|
48
|
5
|
15
|
20
|
24
|
60
|
Ici - on peut voir que quand on multiplie la longueur des côtés par 2, que le périmètre est multiplié par 2. Lorsqu'on multiplie la longueur des côtés par 3, que le périmètre est multiplié par 3 et ainsi de suite.
- Quel est le périmètre du 20e triangle?
Le 20e triangle va avoir un périmètre 20 fois plus grand que le périmètre du triangle 1. Le périmètre du triangle 1 est de 12 unités.
20 x 12 = 240
: . Le périmètre du 20e triangle est 240 unités.
b. Comment peut tu décrire la relation entre la valeur de l’homothétie et la valeur du périmètre?
Si la valeur de l'homothétie est représenté par la variable h et que le périmètre est représenté par la variable p nous pouvons dire que
p = h x 12
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